“参数数量”的概念可以被一般化，特别是在使用了正则化拟合的模型中。假设 $\mathbf{y}$ 为输出变量的取值 $y_1,y_2,\dots,y_N$ 组成的向量，与之类似 $\hat{\mathbf{y}}$ 为预测结果的向量。那么一个线性拟合模型可被写为：
$$\hat{\mathbf{y}} = \mathbf{S} \mathbf{y} \tag{7.31}$$其中的 $\mathbf{S}$ 是 $N\times N$ 的矩阵，它依赖于输入变量向量 $x_i$ 但不依赖于 $y_i$。线性拟合方法，会在原始特征变量上或者从中衍生出的基函数上进行线性回归，并可使用二次收缩的平滑方法，比如岭回归和三次平滑样条。那么 有效参数数量（effective number of parameters） 可被定义为 $\mathbf{S}$ 的对角线元素之和：
$$\operatorname{df}(\mathbf{S}) = \operatorname{trace}(\mathbf{S}) \tag{7.32}$$这也被称为 有效自由度（effective degrees-of-freedom）。如果 $\mathbf{S}$ 是投影到由 $M$ 个特征变量张成的基函数集的正交投影矩阵，那么 $\operatorname{trace}(\mathbf{S})=M$。其实可以发现，$\operatorname{trace}(\mathbf{S})$ 的数值恰好等于式 7.26 中 $C_p$ 统计量中的参数数量 $d$。如果 $\mathbf{y}$ 来自于加性误差模型 $Y=f(X)+\varepsilon$，其中 $\operatorname{Var}(\varepsilon)=\sigma^2_\varepsilon$，则可以证明 $\sum_{i=1}^N \operatorname{Cov}(\hat{y}_1,y_i)=\operatorname{trace}(\mathbf{S})\sigma^2_\varepsilon$，这也启发了更一般性的（参数有效数量）定义方式：
$$\operatorname{df}(\hat{\mathbf{y}}) = \frac {\sum_{i=1}^N \operatorname{Cov}(\hat{y}_i,y_i)}{\sigma^2_\varepsilon} \tag{7.33}$$（见练习 7.4 和练习 7.5）。第 153 页的第 5.4.1 节在平滑样条的场景中对 $\operatorname{df}=\operatorname{trace}(\mathbf{S})$ 做了更多直观理解上的说明。
在类似于神经网络的模型中，会对一个含有权重衰减惩罚（正则）项 $\alpha\sum_mw_m^2$ 的误差函数 $R(w)$ 最小化，它的有效参数数量可写为：
$$\operatorname{df}(\alpha) = \sum_{m=1}^M \frac{\theta\_m}{\theta\_m + \alpha} \tag{7.34}$$其中 $\theta_m$ 为海森（Hessian）矩阵 $\partial^2R(w)/\partial w\partial w^T$ 的特征值。如果利用在最优解处误差函数的二次近似，则可从式 7.32 得出式 7.34（Bishop, 1995）。
本节练习
练习 7.5
对于一个线性平滑模型 $\hat{\mathbf{y}}=\mathbf{S}\mathbf{y}$，证明：
$$\sum_{i=1}^N\operatorname{Cov}(\hat{y}\_i, y_i)= \operatorname{trace}(\mathbf{S}) \sigma_\varepsilon^2 \tag{7.65}$$这印证了它作为有效参数数量的合理性。