6.2 核函数窗宽的选择

在每个核函数 $K_{\lambda }$ 中，$\lambda$ 为控制窗宽的参数：

• 对于使用距离窗宽的 Epanechnikov 或三次核函数，$\lambda$ 为其支撑集的半径。
• 对高斯核函数，$\lambda$ 为其标准差。
• $k$-近邻中，$\lambda$ 为最近邻域中的样本个数 $k$，通常也被表达为一个对整体训练样本大小的比例 $k/N$。

在选择局部的窗宽时存在偏差方差权衡，这在局部平均中显而易见：

• 若窗宽较小，$\hat{f}(x_0)$ 为离 $x_0$ 很近的少数几个点的 $y_i$ 平均，其方差相对较大，几乎接近于单个观测值 $y_i$ 的方差。其偏差相对较小，这是由于在这个小邻域上每个点 $\mathrm{E}(y_i)=f(x_i)$ 都接近于 $f(x_0)$。
• 若窗宽较大，相对于任意 $y_i$，$\hat{f}(x_0)$ 的方差会小很多，这是由于它是更多样本的平均。但在平均中用到了距离 $x_0$ 更远的 $x_i$，无法保证 $f(x_i)$ 与 $f(x_0)$ 足够解近，故偏差会比较高。

以上逻辑也适用于局部回归估计，以局部线性为例：随着窗宽缩小至零，估计结果趋近于一个对训练样本数据进行内插的分段线性函数¹；随着窗宽无限变大，估计结果趋近于一个训练样本数据的全局的线性最小二乘拟合。

第五章中对选择平滑样条正则化参数的讨论，在这里同样适用，因此不再复述。局部回归平滑器是线性的估计；$\hat{\mathbf{f}}={\mathbf{S}}_{\lambda }\mathbf{y}$ 中的平滑矩阵通过等价核（式 6.8）构建，其第 ij 个元素为 $\{{\mathbf{S}}_{\lambda }{\}}_{ij}=l_i(x_j)$。留一法的交叉验证非常容易实施（练习 6.7），类似地也可用一般性的交叉验证 $C_p$（练习 6.10），以及 $k$ 次交叉验证。有效自由度也是被定义为 $\mathrm{trace}({\mathbf{S}}_{\lambda })$，可被用来校准平滑程度。图 6.7 中比较了平滑样条和局部线性回归的等价核。局部回归平滑器的窗宽（比例）为 40%，对应的自由度 $\text{df}=\mathrm{trace}({\mathbf{S}}_{\lambda })=5.86$ 平滑样条被校准到相似的自由度，它们的等价核从数值上分成相似。

本节练习

练习 6.7

Derive an expression for the leave-one-out cross-validated residual sum-of-squares for local polynomial regression.

练习 6.10